次の問に答えよ．
問1 定積分 $\disp{\int_0^\frac{\pi}{2} x \cos 2x \dx}$ を求めよ．
問2 ${\rm AB}={\rm AC}=1$ である二等辺三角形${\rm ABC}$において， ${\rm BC}=2x$，内接円の半径を $r$ とおく．
(1) $r$ を $x$ を用いて表せ．
(2) $r$ が最大となる $x$ の値を求めよ（最大値そのものは求める必要はない）．
$a$，$b$，$c$，$d$ は $a+d=0$，$ad-bc=1$ を満たす実数とし， $A=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)$， $E=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ とする． 次の問に答えよ．
問1 $A^2=-E$ を示せ．
問2 $p$，$q$ は実数で $p^2+q^2 \neq 0$ を満たすとする． 実数 $x$，$y$ に対して $(pA+qE)(xA+yE)=E$ が成り立つとき，$x$，$y$ を $p$，$q$ で表せ．
問3 $\theta$ を実数とする．すべての正の整数 $n$ に対して $$ \{ (\cos \theta) E + (\sin \theta) A \}^n=(\cos n \theta) E + (\sin n \theta) A$$ が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ． ここで，$(\sin \theta) A$ は行列 $A$ の $\sin \theta$ 倍を表す．
整数 $m$，$n$ は $m \geqq 1$，$n \geqq 2$ を満たすとする． 次の問に答えよ．
問1 $x > 0$ のとき，$y=\log x$ の第1次導関数 $y'$ と第2次導関数 $y''$ を求めよ． 答を記すのみでよい．
問2 座標平面上の3点 ${\rm A}(m, \log m)$， ${\rm B}(m+1, \log m)$， ${\rm C}(m+1, \log (m+1)$ を頂点とする三角形の面積を $S_m$ とする． $S_m$ を $m$ を用いて表せ． 答を記すのみでよい．
問3 $\disp{f(m)=\log m + S_m - \int_m^{m+1} \log x \dx}$ とおく． $f(m) < 0$ が成り立つことを， $y=\log x$ のグラフを用いて説明せよ．
問4 $f(1)+f(2)+\cdots+f(n-1) < 0$ であることを用いて，不等式 $$ \log 1 + \log 2 + \cdots + \log(n-1) < n \log n - n +1 - \frac{1}{2} \log n $$ を証明せよ．
問5 不等式 $\disp{n! < e \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}$ を証明せよ． ただし，$e$ は自然対数の底である．
1個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行なう． 景品はAとBの2種類あり，次の規則に従って景品をもらえるとする．
ちょうど $n$ 回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を $p_n$ とする． 次の問に答えよ．
問1 $p_2$ の値を求めよ．
問2 $n$ を2以上の整数とする． $p_n$ を $n$ を用いて表せ．
問3 $n$ を2以上の整数とする．不等式 $$ p_{n+1}-p_n < \frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) $$ を示せ．ただし，$p_1=0$ とする．
次の問に答えよ．
問1 直径 $1$ の球を球の中心から距離 $a$ の平面で切って二つの部分に分けたとき， 中心を含まない部分の体積を求めよ． ただし，$\disp{0 < a < \frac{1}{2}}$ とする．
問2 一辺の長さが $1$ である立方体 ${\rm ABCD}$-${\rm EFGH}$ を考える． この立方体に内接する球とせい四面体 ${\rm ACFH}$ との共通部分の体積を求めよ．
$xy$平面上の曲線 $C$ は媒介変数 $\theta$ を用いて $$ \begin{array}{ll} x=\frac{2}{3}\sqrt{3}\cos\theta+\frac{\sqrt{6}}{3}\sin\theta \\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos\theta-\frac{\sqrt{6}}{3}\sin\theta \end{array} \qquad (0 \leqq \theta \leqq \pi) $$ と表される．このとき，次の問に答えよ．
問1 曲線 $C$ を表す$x$ と $y$ の関係式を求め，$xy$平面に図示せよ．
問2 点 $(2, 0)$ から曲線に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ．
$a$ を自然数とする． 赤球 $3$ 個， 白球 $a$ 個が入った袋から一つずつ順に取り出す操作をすべての玉を取り出すまで繰り返す． ただし，取り出した玉は元に戻さない． このとき，$2$ 個目の赤球が出る前までに取り出した玉の数を $X$ とする． 次の問に答えよ．
問1 $a=4$ とする．3番目までに赤球が $1$ 個だけ出て，4番目が赤球である確率を求めよ．
問2 $X=n$ となる確率を $p_n$ とする． $p_n$ が最大となる $n$ の値を $a$ を用いて表せ．
問3 $X$ の期待値を求めよ．
$m$ を正の定数とする．次の問に答えよ．
問1 $xy$平面上に2点${\rm O}(0,0)$，${\rm P}(1,m)$ がある． このとき2点${\rm Q}$，${\rm R}$ の座標を， $\triangle {\rm OPQ}$，$\triangle {\rm OPR}$ がともに正三角形となるように定めよ． ただし，点${\rm Q}$ は$xy$平面上の $y > mx$ となる領域に， 点${\rm R}$ は$xy$平面上の $y < mx$ となる領域に定めよ．
問2 問１で定めた3点${\rm P}$，${\rm Q}$，${ \rm R}$ について， 一次変換 $f$ は点${\rm P}$ を同じ点${\rm P}$ に， 点${\rm Q}$ を点${\rm R}$ に移すものとする． この一次変換 $f$ を表す行列$A$を求めよ．
関数 $y=4x^3-x^4$ について，次の問に答えよ．
問1 $y=4x^3-x^4$ のグラフの概形を，極値，変曲点，凹凸を調べてかけ．
問2 $a$ を定数とするとき，直線 $y=ax$ と曲線 $y=4x^3-x^4$ との共有点の個数を調べよ． ただし，接点は$1$個の共有点とみなす．
辺に長さがすべて整数である直角三角形の面積は， $3$ で割り切れる整数であることを示せ．
四面体 ${\rm ABCD}$ において， 三角形 ${\rm BCD}$ の3辺の長さは $3$，$4$，$5$ である． また，${\rm A}$ から対面 ${\rm BCD}$ に下ろした垂線の足 ${\rm H}$ は三角形 ${\rm BCD}$ の内心に一致している． ${\rm AH}$ の長さを $h$ とする． この四面体を ${\rm AH}$ を軸として一回転したとき， この四面体の表面が通過した部分の体積を求めよ．
次のゲームを考える．
コインを$n$回投げたときの持ち点が$1$である確率を $p(n)$， コインを$n$回投げたときの持ち点の期待値を $E(n)$ とする． このとき，次の問に答えよ．
問1 $p(4)$ を求めよ．
問2 $\disp{E(n+1)=\frac{5}{4}E(n)-\frac{1}{4}p(n)}$ であることを示せ．
問3 $E(7)$ を求めよ．
曲線 $y=\sqrt{x^2-1}$ $(x \geqq 1)$ 上の点 ${\rm P}(a, b)$ $(a > 1)$ での接線と$y$軸との交点を $\rm Q$ とする． 次の問に答えよ．
問1 点 ${\rm Q}$ の座標を $b$ で表せ．
問2 ${\rm PQ}^2$ の最小値を求めよ．
$N$ を2以上の自然数とする． $1$ から $N$ までの番号を1つずつ書いた$N$枚のカードから2枚を同時に取り出し， そのうち大きい番号を $X$ とし，小さい番号を $Y$ とする． 次の問に答えよ．
問1 $i$ を $1$ 以上 $N$ 以下の自然数とするとき， $X=i$ となる確率 $p_i$ および $Y=i$ となる確率 $q_i$ を求めよ．
問2 $X$ の期待値 $E_1$ および $Y$ の期待値 $E_2$ を求めよ．
数列 $\{c_n\}$ を次のように定義する． $$ \begin{array}{ll} c_1=1 \, , \\ c_{n+1}=1+\frac{1}{\,2^{n+1}\,} +\frac{1}{\,3\,}\left(c_n+\frac{1}{\,4^{n+1}\,}\right) \qquad (n=1,\,2,\,3,\,\ldots) \end{array} $$ 次の問に答えよ．
問1 $n \geqq 2$ のとき， $\disp{a_n=1+\frac{1}{\,2^n\,}+\frac{1}{\,3\,}\cdot\frac{1}{\,4^n\,}}$ とする． このとき， $\disp{c_n=\frac{1}{\,3^{n-1}\,}+\sum^n_{i=2}\frac{a_i}{\,3^{n-i}\,}}$ $(n=2,\,3,\,4,\,\ldots)$ が成り立つことを示せ．
問2 $\disp{\limn c_n}$ を求めよ．
$\disp{I_n=\int^{\frac{\pi}{4}}_0 \tan^n \theta \,d\theta}$ $(n=1,\,2,\,3,\,\ldots)$ とするとき，次の問に答えよ．
問1 $I_1$ および $I_n+I_{n+2}$ $(n=1,\,2,\,3,\,\ldots)$ を求めよ．
問2 不等式 $I_n \geqq I_{n+1}$ $(n=1,\,2,\,3,\,\ldots)$ を示せ．
問3 $\disp{\limn n I_n}$ を求めよ．
次の問に答えよ．
問1 関数 $\disp{y=\frac{\log x}{x}}$ の増減，凹凸および変曲点を調べてグラフをかけ． ただし，$\disp{\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log x}{x}=0}$ は用いてよい．
問2 曲線 $\disp{y=\frac{\log x}{x}}$ と直線 $x=e^2$ および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
$2$次の正方行列 $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ に対して，$\Delta(A)=ad-bc$ とおく． 次の問に答えよ．
問1 $2$次の正方行列 $A$ が逆行列 $A^{-1}$ をもつとき， $\disp{\Delta(A^{-1})=\frac{1}{\Delta(A)}}$となることを示せ．
問2 $2$次の正方行列 $A$ が逆行列 $A^{-1}$ をもち， $A$ および $A^{-1}$ の成分がすべて整数であるとき， $\Delta(A)$ のとりうる値を求めよ．
問3 $2$次の正方行列 $A$ が逆行列 $A^{-1}$ をもち， $A$ および $A^{-1}$ の成分がすべて$0$以上の整数であるとき， $A$ を求めよ．
次の問に答えよ．
問1 関数 $y=x\sqrt{x^2-1}-\log(x+\sqrt{x^2-1})$ $(x \gt 1)$ を微分せよ．
問2 曲線 $y=\sqrt{x^2-1}$ 上の点 ${\rm P}(a,b)$ $(a \gt 1)$ をとる． このとき，$\disp{f(x)=\frac{b}{a}x-\sqrt{x^2-1}}$ は $1 \leqq x \leqq a$ において $f(x) \geqq 0$ となることを示せ．
問3 曲線 $y=\sqrt{x^2-1}$ 上の点 ${\rm P}(a,b)$ $(a \gt 1)$ をとる． 原点 $\rm O$ と点 $\rm P$ を結ぶ線分 $\rm OP$ と$x$軸および曲線 $y=\sqrt{x^2-1}$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする． このとき，$a$ を $S$ で表せ．
$a_n=(\sqrt{2}+1)^n$，$b_n=(\sqrt{2}-1)^n$ $(n=1,2,3,\ldots)$ とするとき，次の問に答えよ．
問1 $a_n$ を整数 $p_n$ と整数 $q_n$ を用いて $a_n=p_n+q_n\sqrt{2}$ と表したとき， $p_n^2-2q_n^2=(-1)^n$ が成立することを示せ．
問2 $b_n$ を $p_n$ と $q_n$ を用いて表せ．
問3 実数 $a$ に対して，$[a]$ を $a$ を超えない最大の整数とする． 例えば，$[2]=2$，$[3.9]=3$ である． $n$ が奇数なら $[a_n]$ は偶数， $n$ が偶数なら $[a_n]$ は奇数となることを示せ．
実数 $p$ に対して，行列 $A$，$B$，$C$ をそれぞれ $$ A=\left( \begin{array}{cc} 0 & p \\ 1 & 0 \end{array} \right) \; , \quad B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1+p \end{array} \right) \; , \quad C=\left( \begin{array}{cc} 1 & p \\ 1+p & -1 \end{array} \right) $$ とおく． さらに，行列 $A_n$ ($n=1,\,2,\,3,\,\ldots $) を $$ A_1=A, \quad A_{n+1}=A_nB-BA_n+C \quad (n=1,\,2,\,3,\,\ldots) $$ で定める． 次の問に答えよ．
問1 $A_2$，$A_3$ を求めよ．
問2 $A_n$ ($n=1,\,2,\,3,\,\ldots$) を推測し， その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．
中心が $(2,0,1)$，半径が $2\sqrt{5}$ の球面が$yz$平面と交わってできる円を $C$ とする． 次の問に答えよ．
問1 $C$ の中心の座標と半径を求めよ．
問2 点${\rm P}$は$C$上を動き， 点${\rm Q}$は$xy$平面上の直線 $x=y$ 上を動くとする． 線分${\rm PQ}$の長さの最小値，およびそのときの ${\rm P}$，${\rm Q}$ の座標を求めよ．
1から4までの番号を1つずつ書いた4枚のカードがある． この中から1枚を抜き取り，番号を記録してもとに戻す． これを$n$回繰り返したとき，記録された$n$個の数の最大公約数を $X$ とする． ただし，$n$ は$2$以上の自然数とする． 次の問に答えよ．
問1 $X=3$ となる確率と $X=4$ となる確率を $n$ を用いて表せ．
問2 $X=2$ となる確率を $n$ を用いて表せ．
問3 $X$ の期待値を $n$ を用いて表せ．
次の問に答えよ．
問1 定積分 $\disp{\int^\pi_{-\pi} x \sin 2x \dx}$ を求めよ．
問2 $m$，$n$ が自然数のとき， 定積分 $\disp{\int^\pi_{-\pi} \sin mx \sin nx \dx}$ を求めよ．
問3 $a$，$b$ を実数とする． $a$，$b$ の値を変化させたときの定積分 $\disp{\int^\pi_{-\pi} (x-a\sin x - b \sin 2x)^2 \dx}$ の最小値，およびそのときの $a$，$b$ の値を求めよ．
２つの放物線 $C_1$: $y=x^2-(a+1)x+a$， $C_2$: $y=x^2-(a-1)x-a$ がある． ただし，$-1 < a < 1$ とする． 次の問に答えよ．
問1 $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $\ell$ の方程式を求めよ．
問2 $C_1$ と $C_2$ および $\ell$ によって囲まれた図形の面積を求めよ．
数列 $\{a_n\}$ の初項から第$n$項までの和 $S_n$ は次の条件を満たすとする． $$ S_1=1, \quad S_{n+1}-3S_n=2^{n+1}-1 \quad (n=1,2,3,\ldots) $$ 次の問に答えよ．
問1 数列 $\{a_n\}$ の満たす漸化式を求めよ．
問2 $\disp{b_n=\frac{a_n}{2^n}}$ とおくとき， 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．
問3 $a_{100}$ を $4$ で割ったときの余りを求めよ．
次の問に答えよ．
問1 $50!$ を素因数分解したとき， 累乗 $2^a$ の指数 $a$ を求めよ．
問2 ${}_{100}C_{50}$ を素因数分解したとき， 累乗 $3^b$ の指数 $b$ を求めよ．
平面上で，不等式 $(x-2)^2 \geqq y^2$ の表す領域を$A$， 連立不等式 $\left\{ \begin{array}{cc} (x-2)^2 \geqq y^2 \\ y \geqq x^2-2x \end{array} \right.$ の表す領域を$B$ とする．次の問に答えよ．
問1 領域$A$ を図示せよ．
問2 領域$B$ の面積を求めよ．
問3 領域$B$ を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
行列 $\disp{A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right)}$， $\disp{B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right)}$ に対して以下の問に答えよ．
問1 $U=P^{-1}AP$ とする．$U$ を求めよ．
問2 $n$ を自然数とする． $U^n$ を推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
問3 $A^n$ を求めよ．
3点 ${\rm O}(0,0,0)$，${\rm A}(3,0,0)$，${\rm B}(1,2,1)$ がある．
問1 $z$ 軸上の点 ${\rm C}(0,0,m)$ から直線${\rm AB}$上の点${\rm H}$におろした垂線を${\rm CH}$とする． このとき，点${\rm H}$が線分${\rm AB}$上にあるような $m$ の範囲を求めよ．
問2 点${\rm H}$が線分${\rm AB}$上にあるとき， 垂線${\rm CH}$の長さの最大値，最小値とそのときの${\rm H}$の座標を求めよ．
問3 三角形${\rm OAB}$に外接する円の中心${\rm P}$の座標とその半径 $r$ を求めよ．
点 $(a,b)$ を通り曲線 $y=x^3-x$ に接するような異なる3本の直線が存在するための実数 $a$，$b$ が満たすべき必要十分条件を求め， それを満たす点 $(a,b)$ の存在する領域を図示せよ．
$a > 0$ とし，$f(x)=a^2(x+1)e^{-ax}$ とおく．
問1 関数 $f(x)$ の最大値とそのときの $x$ の値を求めよ．
問2 問1で求めた $x$ の値を $c$ とする． 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸，$y$ 軸および直線 $x=c$ で囲まれた図形の面積を $S(a)$ とする． $0 < a < 1$における $S(a)$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めよ． ただし，$e > 2$ であることを証明なしに用いてよい．
$2010^{2010}$ を $2009^2$ で割った余りを求めよ．
$a$ を実数とする． このとき， 曲線 $y=e^x$ と $y=(x-a)^2$ の両方に接する直線が存在するような $a$ の値の範囲を求めよ．
条件 $a_1=3$，$\disp{a_{n+1}=3-\frac{2}{a_n}}$ $(n=1,2,3,\ldots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ を考える． このとき，次の問に答えよ．
問1 数学的帰納法により不等式 $a_n > 2$ $(n=1,2,3,\ldots)$ を証明せよ．
問2 不等式 $\disp{0 < a_{n+1}-2 < \frac{1}{2}(a_n-2)}$ $(n=1,2,3,\ldots)$ を証明せよ．
問3 極限 $\disp{\limn a_n}$ を求めよ．
中心が平面 $x=4$ 上にあり$yz$平面との交わりが点 $(0, 1, 2)$ を中心とした半径 $3$ の円である球面を$S$ とする． このとき，次の問に答えよ．
問1 球面$S$の方程式を求めよ．
問2 球面$S$と$yz$平面で囲まれた2つの図形のうち，球面$S$の中心を含んでいるほうの図形の体積を求めよ．